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Determinantes


Ayer estube en Granada cenando con unos amigos porque hoy no podía ser (ya sabes, todo lo que viene siendo confetis y esas cosas el 31 del 12: en casita) y en el viaje de vuelta a mi pueblo natal (que por cierto ha aumentado 28 habitantes en un año: todo un record!) tenía el estómago como una fiesta de petazetas con ácido sulfúrico, que mal estar oye, y para distraerme he dicho… “voy a pensar en lo que sea” y me han venido a la cabeza los determinantes. Hay que ver, ni en vacaciones lo dejan a uno descansar.

Oye, que no se qué es un determinante y porqué es tan molón. No me digas (venga tonta que lo se yo!) que no te parece curioso que puedas resolver un sistema de ecuaciones, incluso compatible indeterminado, escogiendo una combinación específica llamada determinante utilizando la regla de Cramer.

Como buen cazador me he puesto a buscar en Wikipedia y como lo estoy haciendo ahora, al par que escribiendo esto, te relato mis averiguaciones.

Empecemos por la definición.

Sea M_n(K) un conjunto de matrices (n,n) sobre el cuerpo K. Existe exactamente una función[1]

F: M_n(K) \rightarrow K

con las siguientes propiedades:

  • F es multilinear alterna con respecto a sus columnas.
  • F(\mathbb{I}_n) = 1.

[No te preocupes por la palabra esa fea que ha salido (multilinear alterna) que vas a ver lo que significa]

Entonces, por lo visto cuando intentas demostrar esas dos premisas llegas a la fórmula de Leibniz para el determinante

\displaystyle det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \prod_{i=1}^{n}A_{i,\sigma(i)}

S_n es el grupo simétrico. Y \sigma por lo tanto, al ser un elemento del grupo, una permutacion de n elementos.

Multilinear alternante es la palabra usada para notar que el determinante proviene del espacio dual de M_n(K)  (o eso es lo que yo he entendido), de la misma forma que en la notación de Dirac el bra es la forma dual del ket, asociados mediante el producto interno.

Ahora veamos como brilla.

  • Para todo grupo finito existe una representación unitaria equivalente.
  • Toda matriz que corresponda a una representación de un grupo finito puede transformarse, medidante una transformación de semejanza (A' = BAB^{-1}), en diagonal y por lo tanto en múltiplo de la matriz identidad (consecuencia del segundo lema de Schur).
  • El determinante es invariante respecto a transformaciones de semejanza. det(A')=det(A)

¡Por eso se utilizaba el determinante para diagonalizar! ¡Yupi!

Seguro que hay explicaciones análogas para el Wronskiano, Jacobiano, Hessiano o el determinante de Slater.

Pues eso es todo por hoy. Si te has quedado con ganas de saber más acerca de su historieta, puedes seguir leyendo aquí … Porque no es cosa de que me ponga a copiar lo de Wikipedia.

Hasta otra  guiris.

___________________
[1] Durante mucho tiempo, por lo visto, el determinante no se considero como un objeto matemático a parte. Simplemente se utilizaba para caracterizar los sistemas de ecuaciones, hasta que Vandemorde reconoció la función como tal.

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  1. diciembre 26, 2012 en 11:43 pm

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  1. junio 12, 2016 en 11:11 am

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